Dressez le tableau de variations de la fonction B(x). R e p r � s e n t e r g r a p h i q u e m e n t V ( x ) . Exemple : Le nombre de naissances dans un pays est passé de 45 000 à 33 000. @ CJ OJ QJ aJ "h.] ha? Le taux d'évolution est donc t= 33000−45000 45000 ≈–0,27 , soit une baisse de 27 % environ. Haut de page. Exercice sur le choix de la formule de trigonométrie à utiliser pour calculer une longueur dans un triangle rectangle. Corrig´e Exercice n˚3: On donne la fonction f d´efinie par f(x) = 3 x2 +2x− 3, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e. Exercice 01 soit . • Un taux d'évolution peut dépasser 100 %. Exercice 1. Montrer que p 10 2=Q. Rem. Dans cette acception I, le terme fonction, se différencie du terme rôle qui implique un emprunt, une activité d'ordre mécanique. Rem. 4 � - E x p r i m e z l e r � s u l t a t b � n � f i c i a i r e B ( x ) e n f o n c t i o n d e x ( O n r a p p e l le que le b�n�fice B est obtenu en soustrayant le co�t de fabrication C � la recette V).Pour quelle valeur de x le b�n�fice est-il maximum�? Faire un tableau pour voir comment la fonction croît. En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction exponentielle : Croissances comparées ... une autre méthode est proposée en exercice.) O n d � s i g n e p a r V ( x ) l e m o n t a n t c o r r e s p o n d a n t � l a v e n t e d e x a r t i c l e s . 2. f 2(x)=jtanxj+cosx. x 2 l’intégrale d’une fonction continue. dx = F(b) – F(a). Que vaut alors P max? @ 5�CJ OJ QJ \�aJ %h.] f est concave si et seulement si sa dérivée seconde f '' est à valeurs négatives ou nulles. @ OJ QJ mH sH h�*� ha? � g 4 �^ g � �^ t ; ; �@ ; ; ; ; ; a` a` s@ ; ; ; (a ; ; ; ; � � � � x) $ � � � x) � � � $ $ $ $ $ $ ���� Exercices�: D�riv�e d�une fonction �Exercice 1�: Calculez les d�riv�es des fonctions suivantes, d�finies sur (�: a � f ( x ) = 2x� - 7x + 9 b � f ( x ) = 3x� - 4x - 5 c � f ( x ) = 3 - 4x d � f ( x ) = EQ \s\do1(\f(1;4)) x � +4 x +3 � Exercice 2 : D�terminez l��quation de la tangente � la courbe ( C )repr�sentant la fonction f au point A d�abscisse xA dans les cas suivants�: a � f ( x ) = x� + 3x - 12 xA = 5 b � f ( x ) = x3 - 3x + 6 xA = 1 � Exercice 3 : Dressez le tableau des variations de la fonction suivante�: f ( x ) = 2x� - 6x + 5 sur I = [ - 1; 4 ] Exercice 4�: Le co�t total de production d�un article varie en fonctions du nombre d�objets x fabriqu�s�suivant la formule�: C ( x ) = x� - 24 x + 225 .� 1� - Calculez�: C ( 1 )�; C ( 10 )�; C ( 15 )�; C ( 20 )�; C ( 25 ). des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. E x p r i m e r V ( x ) e n f o n c t i o n d e x . quels que soient deux points A et B du graphe de la fonction, le segment [AB] est entièrement situé au-dessus du graphe, c’est-à-dire que la courbe représentative de la fonction se situe toujours en dessous de ses cordes, ou; l'épigraphe de la fonction … ��ࡱ� > �� R T ���� O P Q ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ q` �� � bjbjqPqP 4� : : � E �� �� �� � $ $ $ $ � � � � �6 �6 �6 �6 � �7 � � (a F 8 ( H8 H8 H8 H8 ; ; ; ;` =` =` =` =` =` =` $ nc h �e a` � � ; �: | ; ; ; a` $ $ H8 H8 ? le corollaire suivant, fort pratique pour vérifier sans mal la concavité d'exemples spécifiques : La dernière modification de cette page a été faite le 9 décembre 2020 à 11:52. exercice corrigé de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fonction_concave&oldid=177438608, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, que toute fonction concave et dérivable (sur un intervalle réel) est de. Quelle est la nature de la courbe obtenue�? @ ha? R e p r � s e n t e r g r a p h i q u e m e n t V ( x ) . soit . Tracer la courbe repr�sentant le b�n�fice B dans l�intervalle [5�; 60]. 5. Pour cela, calculer la dérivée seconde si … @ OJ QJ h�� OJ QJ ha? @ 5�6�mH sH ha? La fonction valeur absolue, c’est-à-dire f(x) = |x|, n’est pas forcément à connaître, ce qu’il faut savoir c’est comment manipuler et calculer des valeurs absolues. Fonction logarithme/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. E x p r i m e r V ( x ) e n f o n c t i o n d e x . y Quelle est la nature de la courbe obtenue�? Chercher la concavité de la fonction et les points d'inflexion. On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un épigraphe convexe (les fonctions concaves ont un hypographe convexe). Comparaison entre ln(x) et x en 0 ... Dérivée de ln(u) Exercice 1 Etude complète des fonctions suivantes 1. f 1(x)= 1+x 2 x3 (arctanx x 1+x2). En mathématiques, une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe. 2 � - L e b � n � f i c e B r � a l i s � p o u r l a v e n t e d e n a p p a r e i l s e s t d o n n � p a r B ( n ) = - n � + 9 0 n - 8 0 0 a S a c h a n t q u e l e b � n � f i c e B e s t o b t e n u e n s o u s t r a y a n t l e c o � t d e f a b r i c a t i o n C � l a r e c e t t e R , retrouver la recette obtenue pour la vente d�un appareil � cire. 2. Montrer que p 10 2=Q. 4 � - E x p r i m e z l e r � s u l t a t b � n � f i c i a i r e B ( x ) e n f o n c t i on de x (on rappelle que le b�n�fice B est obtenu en soustrayant le co�t de fabrication C � la recette V). C'est pourquoi l'analyse convexe existe en tant que discipline des mathématiques, mais pas l'« analyse concave Â». Exercice 4 : Déterminer la puissance P consommée par R C (en fonction de E, R C et R) : Pour quelle valeur de R C la puissance consommée est-elle maximale ? On désigne ici par fonction un attribut essentiel, soit solidaire de la nature d'un être (I A) soit reconnu par convention à une institution ou à un élément (I B). Calculez-le. des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction exp o u qui à x associe eu (x) est dérivable sur I, et on a : (exp o u)' = u' x exp o u ou encore (eu)' = u' x eu Exercice 10 (voir réponses et correction) Justifier que chacune des fonctions est dérivable sur IR , calculer la dérivée et étudier le signe de cette dérivée. Dresser le tableau de variation de f. 7. Exercice 4 : Déterminer la puissance P consommée par R C (en fonction de E, R C et R) : Pour quelle valeur de R C la puissance consommée est-elle maximale ? Le taux d'évolution est donc t= 33000−45000 45000 ≈–0,27 , soit une baisse de 27 % environ. @ OJ QJ ha? �Exercice 1�: Calculez les d�riv�es des fonctions suivantes, d�finies sur (�: a � f �( x ) = 4x - 7 b � f �( x ) = 6x - 4 c � f �( x ) = - 4 d � f� ( x ) = EQ \s\do1(\f(1;2)) x +4 � Exercice 2 : D�terminez l��quation de la tangente � la courbe ( C )repr�sentant la fonction f au point A d�abscisse xA dans les cas suivants�: a � f ( x ) = x� + 3x - 12 xA = 5 Calculons f ( 5 ) = 5� + 3x5 - 12 = 25 + 15 � 12 = 28 Calculons la d�riv�e�: f� ( x ) = 2x + 3 soit�: f�( 5 ) = 2x5 + 3 = 13 �quation de la tangente�: y = ax + b soit y = 13x + b soit 28 = 13 x 5 + b Alors�: b = 28 � 65 = -37�; L��quation de la tangente est�: y = 13x - 37 b � f ( x ) = x3 - 3x + 6 xA = 1 �Calculons f ( 1 ) = 13 - 3x1 + 6 = 1 -3 +6 = 4 Calculons la d�riv�e�: f� ( x ) = 3x� - 3 soit�: f�( 1 ) = 3x1 - 3 = 0 �quation de la tangente�: y = ax + b soit y = 0x + b soit 4 = 0 x 1 + b Alors�: b = 4�; L��quation de la tangente est�: y = 0x + 4 soit y =4 Exercice 3 : Dressez le tableau des variations des fonctions suivantes�: a � f ( x ) = 2x� - 6x + 5 sur I = [ - 1; 4 ] x -1 1,5 4f �( x ) - 0 +f ( x )13 13 0,5 Exercice 4�: Le co�t total de production d�un article varie en fonctions du nombre d�objets x fabriqu�s�suivant la formule�: C ( x ) = x� - 24 x + 225 .� 1� - Calculez�: C ( 1 )�; C ( 10 )�; C ( 15 )�; C ( 20 )�; C ( 25 ). Position d’une comète en fonction du temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en ... 5 Dérivée d’une fonction69 ... Exercice 1. Cette définition est équivalente à la définition suivante : Définition — Une fonction f d'un intervalle réel I vers ℝ est dite concave lorsque, pour tous x1 et x2 de I et tout t dans [0 ; 1] on a : Proposition — Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Remarques : • Si t>0, il s'agit d'une augmentation, si t<0, il s'agit d'une diminution. Exercice 5. On désigne ici par fonction un attribut essentiel, soit solidaire de la nature d'un être (I A) soit reconnu par convention à une institution ou à un élément (I B). ... Dérivée de exp(u) ... Voir les exercices sur : Croissances comparées, exercice 3. Nous allons cependant te présenter à quoi ressemble la courbe, juste pour ta culture mathématique �` �@ �@ �@ ; $ H8 � H8 ;` �@ ; ;` �@ �@ �\ � * � � �^ H8 8 ��L��� �6 = � �] _ $ �` 0 (a �] � g �? ... Dérivabilité et dérivée. Tracer (Cf). 1. 2� - Etudiez et repr�sentez graphiquement C ( x ) pour I =[ 1�; 25 ] . Exercice 5 : Chercher les modèles de Thévenin et de Norton des circuits suivants : Les batteries d’accumulateurs sont identiques … En mathématiques, une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe.. • Pour tous réels k et a , il existe une unique fonction f , définie et dérivable sur IR, telle que f ' = kf et f(0) = a. Cette fonction f est définie par : f(x) = a × exp (kx ) pour tout x ∈ IR . Déterminer sa fonction dérivée f ... Exercice n°16. 3 � - L e s a r t i c l e s s o n t v e n d u s 1 6 � p i � c e . x 110152025C ( x )2028590145250 2� - Etudiez et repr�sentez graphiquement C ( x ) pour I =[ 1�; 25 ] . @ 5�>*CJ OJ QJ \�aJ ha? Soit f la fonction définie sur IR par f ()xx=+(2)ex Déterminez les nombres a et b tels que la fonction F, définie sur IR, par F()xa=+(xb)ex soit une primitive de f. Exercice n°17. dx, il suffit de disposer d’une primitive de f, c’est-à-dire d’une fonction F dont la dérivée est f. Et alors ∫ b a f x ( ). 6. Définition — une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe. Fonction logarithme/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. On en déduit d'une part que est strictement positif, d'autre part que est une bijection de dans .La relation montre que la fonction réciproque de est la fonction qui à associe .Cette fonction est donc strictement croissante et … Ce théorème de Newton-Leibniz est aussi appelé théorème fondamental du calcul différentiel et f 2 est dérivable sur Rnp 2Z en vertu de théorèmes généraux et pour x 2= p 2 Z, ... P est une fonction polynôme de degré 3 strictement croissante sur R et s’annule E x e r c i c e 6 � : 1 � - C o � t d e f a b r i c a t i o n d e 5 0 a p p a r e i l s � : C ( 5 0 ) = 5 0 � + 1 6 0 x 5 0 + 8 0 0 = 2 5 0 0 + 8 0 0 0 + 8 0 0 = 1 1 3 0 0 2 � - L e b � n � f i c e B r � a l i s � p o u r l a v e n t e d e n a p p a r e i l s e s t d o n n � p a r B ( n ) = - n � + 9 0 n - 8 0 0 a R e c e t t e o b t e n # $ % 1 2 O n o q r u | } � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���̺����sk`k`k`k`ksk`k`k`k`kU ha? La courbe obtenue est une parabole. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction (𝑥)=1 √𝑥 entre 16 et 17 avec un reste à l’ordre 2. Position d’une comète en fonction du temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en ... 5 Dérivée d’une fonction69 ... Exercice 1. Pour calculer ∫ b a f x ( ). Montrer que 31 128 est une valeur approchée de 1 √17 à 5×10−4 près. Comparaison entre ln(x) et x en 0 ... Dérivée … Exercice 5 : Chercher les modèles de Thévenin et de Norton des circuits suivants : Les batteries d’accumulateurs sont identiques (f.e.m. et préparateur de concours pour la fonction publique Coordonné par Pierre-Brice Lebrun Formateur dans plusieurs délégations du CNFPT, examinateur et correcteur au CNFPT Île-de-France 700 tests psychotechniques et de raisonnement logique 5e édition FONCTION PUBLIQUE Méthode et exercices 9782311205671_001 … @ mH sH ha? Pour quelle valeur de x le b�n�fice est-il maximum�? Que vaut alors P max? Parmi les fonctions concaves simples, on peut citer évidemment par définition les opposées des fonctions réelles convexes, par exemple : Citons également certaines réciproques de fonctions convexes, par exemple sur ℝ+* : De manière plus générale, les fonctions deux fois dérivables dont la dérivée seconde est toujours négative sont des fonctions concaves. Cours sur la dérivée et dérivation d’une fonction : cours de maths en terminale S Bissectrice d’un angle : exercices Maths 6ème corrigés Calculs sur les fractions : correction des exercices en quatrième Remarques : • Si t>0, il s'agit d'une augmentation, si t<0, il s'agit d'une diminution. Calculez-le. 1. Exercice 5�: L�entreprise RAVEL fabrique des appareils � cire. Pr�ciser le nombre d�appareils � fabriquer pour obtenir le b�n�fice maximum. B ( x ) = V (x ) - C ( x ) = 16 x � ( x� - 24 x + 225 ) = 16 x - x� +24 x - 225 = � x� + 40 x - 225 Le b�n�fice est maximum pour 20 objets fabriqu�s, il s� � l � v e � 1 7 5 � . h.] CJ OJ QJ aJ h.] h.] CJ OJ QJ aJ h.] ha? Cette fonction est notée exp et appelée fonction exponentielle . Calculer la fonction d´eriv´ee de f et ´etudier son signe. Quel est ce b�n�fice maximum�? Calculer la dérivée et chercher ses zéros. Le nombre d�appareils fabriqu�s par jour est n. Le co�t de fabrication, en euros, de ces n appareils est donn� par la relation�: C (n ) = n�+ 160n +800 avec 5 d" n d" 6 0 1 � - Q u e l e s t l e c o � t d e f a b r i c a t i o n d e 5 0 a p p a r e i l s � ? O n d � s i g n e p a r V ( x ) l e m o n t a n t c o r r e s p o n d a n t � l a v e n t e d e x a r t i c l e s . Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. D´eterminer le domaine de d´efinition Df de la fonction f. 2. Allez à : Correction exercice 15 Exercice 6. On déduit de la seconde caractérisation : Corollaire — Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« ensemble concave Â» est moins naturelle. Calculer la valeur de B correspondante et placer dans le rep�re le point de coordonn�es (nm�; B (nm ) ). b � Pour conna�tre le b�n�fice maximum�: Calculer B�(x) o� B� est la d�riv�e de la fonction B d�finie par�: B(x) = - x �+ 90 x - 800 sur I = [5�; 60] Calculer la valeur nm qui annule B�(x). Exemple : Le nombre de naissances dans un pays est passé de 45 000 à 33 000. @ OJ QJ eh @r� � @ # $ r � � � � � � � E Identifier les minima, les maxima et les points d'inflexion à tangente horizontale. ; Fixons .D'après le point 2(b) du théorème 1, la fonction est strictement croissante. • Un taux d'évolution peut dépasser 100 %. ha? ... Voir les exercices sur : Croissances comparées, exercice 3. 3� - L e s a r t i c l e s s o n t v e n d u s 1 6 � p i � c e . Mais une fonction concave n'est pas nécessairement dérivable, comme en témoigne la fonction x ↦ –|x|. En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe si : . Convergence uniforme Etudier la convergence uniforme des deux suites de fonctions définies sur [0,1]par : 1. Title: Exercices : Dérivée d’une fonction Author: Laurence Last modified by: Laurence Created Date: 9/20/2006 2:32:00 PM Other titles: Exercices : Dérivée d’une fonction La fonction valeur absolue. ; Fixons .D'après le point 2(b) du théorème 1, la fonction est strictement croissante. Dans cette acception I, le terme fonction, se différencie du terme rôle qui implique un emprunt, une activité d'ordre mécanique. @ OJ QJ " j R�h.] V ( x ) = 1 6 x . Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« … Z � j � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � & $d %d &d.
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